Обход графов

Задача 00011

от

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны квадрата – тоже улицы).

Решение

Всего есть 24 отрезка (улицы) длины b, по которым должен проехать асфальтоукладчик. К восьми перекрёсткам подходит нечётное число таких отрезков. По одному из отрезков, подходящему к такому перекрёстку, асфальтоукладчику придётся проехать дважды. Поскольку отрезок соединяет два перекрёстка, лишних проездов не меньше  8 : 2 = 4.  Итого весь путь составит не меньше  24b + 4b = 28b.
  Пример на рисунке показывает, что путь такой длины возможен.

Задача 00010

от

В одной из вершин  а) октаэдра;  б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его рёбрам ровно по одному разу и возвратиться в исходную вершину?

Решение

а) Пусть, A, B, C, A1, B1, C1 – вершины октаэдра, причём  (A, A1),  (B, B1)  и  (B, B1) – пары противоположных вершин. Тогда любая пара вершин, кроме этих трёх, соединяется ребром. Путь мухи может быть следующим:  ABA1C1BCAC1B1CA1B1A  (см. рис.)

б) В каждой из восьми вершин куба сходится по три ребра. Это означает, что степень каждой вершины полученного графа нечётна, значит, путешествие совершить невозможно.