LaTeX_DEMO — Задачи на Графы

Задача 00018

14.08.2025 от admin2

К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \operatorname{tg} x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a \neq 0$ .

РешениеРешение

Абсцисса $x_{0}$ любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенству $\cos x_{0}=a \operatorname{tg} x_{0}$ . В этой точке касательная к графику функции $y=\cos x$ имеет угловой коэффициент $k_{1}=-\sin x_{0}$ , а касательная к графику функции $y=a \operatorname{tg} x$ имеет угловой коэффициент $k_{2}=\frac{a}{\cos ^{2} x_{0}}$ . Поскольку $k_{1} k_{2}=-\frac{a \operatorname{tg} x_{0}}{\cos x_{0}}=-1$ , эти касательные перпендикулярны друг другу.

Задача 00017

14.08.2025 от admin2

Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.

Решение

Пронумеруем корни многочлена в порядке возрастания $a_{1}<a_{2}<\ldots<a_{n}$ . Тогда многочлен можно представить в виде

$P(x)=a\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \ldots\left(x-a_{n}\right), \quad a \neq 0, \quad a, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{Z} .$

Покажем, что значение многочлена $P$ в любой точке локального экстремума по модулю больше 3 (тогда при сдвиге графика многочлена на 3 единицы вверх или вниз количество его точек пересечения с осью абсцисс не изменится). Точки локальных экстремумов многочлена $P$ находятся на промежутках $\left(a_{i} ; a_{i+1}\right), i=1,2, \ldots, n-1$ .

Вычислим значения $|P(x)|$ в точках $x_{i}=a_{i}+\frac{1}{2}$ . Так как корней не меньше шести, то

$\left|P\left(x_{i}\right)\right|=\left|a\left(x_{i}-a_{1}\right)\left(x_{i}-a_{2}\right) \ldots\left(x_{i}-a_{n}\right)\right| \geqslant|a| \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{25}{4}=|a| \cdot \frac{225}{64}=|a| \cdot 3 \frac{33}{64}>3 .$

В произведении мы оставляем шесть наименьших по модулю множителей, остальные (есть при $n>6$ ) ещё больше.

LaTeX DEMO

22.01.2025 от admin

At first, we sample $f(x)$ in the $N$ ( $N$ is odd) equidistant points around $x^*$ :

$f_k = f(x_k),\: x_k = x^*+kh,\: k=-\frac{N-1}{2},\dots,\frac{N-1}{2}$

where $h$ is some step. Then we interpolate points $\{(x_k,f_k)\}$ by polynomial

(1) $\begin{equation*} P_{N-1}(x)=\sum_{j=0}^{N-1}{a_jx^j} \end{equation*}$

Its coefficients $\{a_j\}$ are found as a solution of system of linear equations:

(2) $\begin{equation*} \left\{ P_{N-1}(x_k) = f_k\right\},\quad k=-\frac{N-1}{2},\dots,\frac{N-1}{2} \end{equation*}$

Here are references to existing equations: (1), (2). Here is reference to non-existing equation (??).