Какое наибольшее число клеток доски 9×9 можно разрезать по обеим диагоналям, чтобы при этом доска не распалась на несколько частей?
Решение
Пусть разрезано k клеток. Рассмотрим граф, рёбрами которого являются половинки проведённых диагоналей, а вершинами – вершины и центры разрезанных клеток. Поскольку граничные клетки доски, очевидно, разрезать нельзя, то в полученном графе не более 64 + k вершин и 4k рёбер. Согласно формуле Эйлера (64 + k) – 4k + 1 ≥ 2, то есть k ≤ 21. Пример с 21 разрезанной клеткой см. на рисунке.
Волейбольная сетка имеет вид прямоугольника размером 50×600 клеток. Какое наибольшее число верёвочек можно перерезать так, чтобы сетка не распалась на куски?
Решение
Будем рассматривать волейбольную сетку как граф, вершинами которого являются узлы сетки, а рёбрами – верёвочки. В этом графе нужно удалить как можно больше рёбер так, чтобы он остался связным. Будем убирать рёбра по очереди до тех пор, пока это возможно. Заметим, что если в графе есть цикл, то возможно удаление любого ребра этого цикла. Связный граф, не имеющий циклов, является деревом. Поэтому, только получив дерево, мы не сможем убрать ни одного ребра. Подсчитаем число рёбер в нашем графе в этот момент. Количество вершин осталось тем же – 51·601 = 30651. Число рёбер в дереве на единицу меньше (см. задачу 31098 б), то есть их 30650. Сначала же их было 601·50 + 600·51 = 60650. Таким образом, можно удалить 30000 рёбер (но не более!).
Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).
Решение
Индукция по n. База. При n = 5 требуемый граф представлен на рис. слева. Шаг индукции. Рассмотрим n + 1 точку. Пусть n из них уже соединены – получился граф с n вершинами. Можно считать, что каждые две из этих n точек соединены стрелкой: иначе проведём все недостающие стрелки (направив их в любую сторону), условие тем более будет выполняться. Обозначим (n+1)-ю точку через C и рассмотрим два случая.
1) n чётно. Разобьём n точек на пары. Пусть {Ak, Bk} – одна из пар (1 ≤ k ≤ n/2) и из Ak идёт стрелка в Bk. Тогда проведём из C стрелку в Ak и из Bk проведём стрелку в C (рис. в центре). Так проделаем для каждой пары. Новый граф с n + 1 вершиной построен. Пусть X, Y – две любые различные его вершины. Если и X и Y не совпадают с C, то из X в Y можно пройти (не более чем за два «хода») по индукционному предположению. Пусть X или Y совпадает с C. Тогда другая из этих точек (Y или X) входит в какую-то пару из тех, на которые мы разбили первые n точек. Таким образом, X и Y – это какие-то две из трёх точек, изображенных на центральном рисунке. Глядя на этот рисунок, легко перебрать все возможные варианты и убедиться, что требование выполняется. 2) n нечётно. Выберем любую вершину A1. Она соединена стрелками со всеми остальными вершинами: A2, …, An. Из A1 выходят не менее чем две стрелки или в A1 входят не менее чем две стрелки (так как n > 4). Пусть из A1 выходят не менее чем две стрелки (второй случай аналогичен) – в вершины A2, A3. Остальные вершины разобьем на пары. Теперь соединим стрелками новую вершину с тройкой A1, A2, A3 – как показано на рис. справа, а со всеми парами – как показано на рис. в центре. Как и в случае а), легко доказать, что полученный граф удовлетворяет условию задачи.
