На турнир приехал 101 человек. Известно, что среди любых 100 из них есть человек, знакомый со всеми остальными. Докажите, что найдется человек, который знаком со всеми остальными.
Подсказка
Пусть нет игрока, знакомого со всеми остальными. Возьмем любого игрока А. По условию есть игрок Б, знакомый со всеми игроками, кроме А.
Решение
Будем называть участников турнира игроками. Пусть нет игрока, знакомого со всеми остальными. Возьмем любого игрока А. По условию есть игрок Б, знакомый со всеми игроками, кроме А. Уберем игрока Б. Со всеми оставшимися может быть знаком только игрок A : иначе игрок 
, знакомый со всеми оставшимися, будет знаком и с Б, что противоречит нашему предположению. Назовем таких игроков А и Б антиподами. Из проведенного рассуждения следует, что при нашем предположении у каждого игрока А есть единственный антипод Б, для которого А в свою очередь является антиподом. Но это значит, что все игроки должны разбиться на пары антиподов, а это невозможно, ибо число игроков нечетно. Противоречие.