На площадке можно сыграть или в волейбол, или в футбол, или в баскетбол. На площадку пришли 7 команд, и каждая команда сыграла с каждой ровно один матч. Известно, что нет трёх команд, которые друг с другом играли в один и тот же вид спорта. Тройку команд, которые между собой сыграли во все три вида спорта, назовём разносторонней. Какое наибольшее количество разносторонних троек команд могло быть?
Подсказка
Всего троек команд можно составить 
. Назовем плохой командой не разносторонней тройки ту, которая с двумя другими играла в одну и ту же игру. Так как нет трех команд, которые друг с другом играли в один и тот же вид спорта, в каждой не разносторонней тройке одна плохая команда.
Решение
Ответ. 14.
Решение. Оценка. Всего троек команд можно составить . Назовем плохой командой не разносторонней тройки ту, которая с двумя другими играла в одну и ту же игру. Так как нет трех команд, которые друг с другом играли в один и тот же вид спорта, в каждой не разносторонней тройке одна плохая команда. С другой стороны, каждая команда является плохой самое меньшее в трех тройках. В самом деле, если она играла в один и тот же вид спорта хотя бы с тремя командами, то она образует не разносторонние тройки с каждыми двумя из них. Иначе она играла в каждый вид спорта с двумя командами, и три не разносторонние тройки тоже налицо. Таким образом, не разносторонних троек хотя бы 
, а разносторонних — не более 
. Пример. Расставим команды по кругу, и пусть в футбол, баскетбол и волейбол играют между собой те, между которыми по часовой стрелке нет других команд, одна другая команда и две другие команды соответственно. Нетрудно проверить, что тогда получится ровно 14 разносторонних троек.