В кружок записались 111 детей. Оказалось, что есть десять кружковцев, каждый из которых знаком более, чем с 
из остальных 101. Докажите, что найдутся два кружковца, не входящих в эту десятку, таких, что каждый из десятки знает хотя бы одного из этих двоих.
Подсказка
Назовём десятерых, о которых идёт речь в задаче, знатоками, а остальных членов кружка — дружками. Будем говорить, что знаток портит пару дружков, если он не знает никого из этой пары.
Решение
Назовём десятерых, о которых идёт речь в задаче, знатоками, а остальных членов кружка — дружками. Будем говорить, что знаток портит пару дружков, если он не знает никого из этой пары. По условию каждый знаток знает более 4.101/5, то есть не меньше 81 дружка. Значит, он незнаком самое большее с 20 дружками и может испортить максимум 
пар дружков. Стало быть, вместе все 10 знатоков могут испортить максимум 1900 пар дружков, а всего пар дружков — 
. Поэтому найдется неиспорченная пара дружков (и даже не меньше 3150 таких пар), что и требовалось доказать.