Задача 039 — Задачи на Графы

Пусть $G$ — связный граф, имеющий хотя бы три вершины. Определим $G^{3}$ как граф на тех же вершинах, в котором соединены ребрами вершины, находящиеся в $G$ на расстоянии не более трех. Докажите, что в графе $G^{3}$ есть гамильтонов цикл.

Подсказка

Для начала рассмотрите вершины, у которых много соседних висячих вершин.

Решение

Разумеется, достаточно доказать теорему для случая, когда $G$ — дерево. Длиной ребра в графе $G^{3}$ мы назовем расстояние между его концами в исходном графе $G$ . Так, у графа $G^{3}$ бывают рёбра длин 1,2 и 3 . Доказательство будет индукцией по количеству вершин. База для дерева из трех вершин очевидна. Пусть для всех деревьев, имеющих меньше вершин, чем $G$ (и хотя бы три вершины), теорема уже доказана. Рассмотрим два случая.
а) В дереве существует вершина w, смежная хотя бы с двумя висячими вершинами. Пусть $v_{1}$ и $v_{2}$ — две висячие вершины, смежные с $w$ и $T=G-v_{2}$ . Можно считать, что $v(T) \geq 3$ , иначе утверждение для графа $G$ доказано в базе. В гамильтоновом цикле $Z$ графа $T^{3}$ есть участок $u v_{1} u^{\prime}$ , который, очевидно, можно заменить на $u v_{1} v_{2} u^{\prime}$ и получить гамильтонов цикл графа $G^{3}$ .
б) Любая невисячая вершина смежна не более, чем с одной висячей.

Рассмотрим вершину $w$ степени хотя бы 3 , к которой присоединён путь $v_{1} \ldots v_{k}$ , заканчивающийся висячей вершиной $v_{k}$ (возможно, $k=1$ ) и дерево $T=G-\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ . Понятно, что $v(T) \geq 3$ , в графе $T^{3}$ существует гамильтонов цикл $Z$ , а в цикле $Z$ есть ребро $u u^{\prime}$ , соединяющее две разных компоненты связности графа $T-w$ . Так как длина ребра $u u^{\prime}$ не более трёх а единственный $u u^{\prime}-$ путь в дереве $T$ проходит через $w$ , то хотя бы одна из вершин $u$ и $u^{\prime}$ смежна в $T$ с вершиной $w$ . Пусть $u w \in E(T)$ . При $k=1$ заменим ребро $u u^{\prime}$ на $u v_{1} u^{\prime}$ . Если $k \geq 2$ , заменим $u u^{\prime}$ на $u v_{2} \ldots v_{1} u^{\prime}$ (вставим между $u$ и $u^{\prime}$ сначала $v_{2}$ , затем все вершины с четными номерами, большими двух в порядке возрастания номеров, затем все вершины с нечетными номерами, большими одного в порядке убывания номеров, затем $v_{1}$ ). Легко видеть, что в полученном гамильтоновом цикле графа $G^{3}$ длины всех рёбер не более трёх.