Задача 034 — Задачи на Графы

$m$ и $n$ — натуральные числа, причём $1<m<n-1$ . В компании из $n$ человек некоторые знакомы друг с другом, причём среди любых $m$ человек из этой компании одно и тоже количество пар знакомых. Сколько пар знакомых может быть среди всех $n$ человек?

Подсказка

Надо показать, что в данной компании каждый знаком с каждым.

Решение

Ответ: $n(n-1) / 2$ .
Решение: Надо показать, что в данной компании каждый знаком с каждым. Заметим для начала, что если взять любую группу из $m+1$ человека, у каждого из её членов будет одно и то число же знакомых среди остальных членов этой группы (назовём это число cmeпенью группы). В самом деле, кого бы ни убрать из группы, общее число знакомств среди $m$ оставшихся по условию будет одним и тем же.

Допустим, в компании есть люди, не знакомые между собой. Тогда, поскольку по условию в компании есть и знакомые, найдётся группа $L$ из $m+1$ человека, среди которых есть как не знакомые между собой люди $A$ и $B$ , так и хотя бы двое знакомых между собой. Поскольку $m<n-1$ , найдется человек $C$ , не входящий в $L$ . Заменим в группе $L$ человека $A$ на $C$ . Получится новая группа $M$ . При замене $L$ на $M$ число знакомых человека $B$ среди членов группы не уменьшилось, поэтому степень у $M$ не меньше, чем у $L$ . С другой стороны, после удаления $A$ и добавления $C$ число знакомых у тех, кто был знаком с $A$ , не увеличилось. Поэтому степень у $M$ не больше, чем у $L$ . Стало быть, степени у $M$ и $L$ равны. Поэтому $C$ знаком в $L$ точности с теми же людьми, что и $A$ : ведь при переходе от $L$ к $M$ им надо восполнить потерю знакомства с $A$ .

Пусть $D$ — один из этих людей. Заменим в $L$ человека $D$ на $C$ . Получим некоторую группу $N$ . Поскольку $D$ знаком в $L$ не со всеми (так как не со всеми знаком в ней $A$ ), рассуждая так же, как выше, убеждаемся, что степени групп $L$ и $N$ равны. Но это невозможно, так как при перехо-

де от $L$ к $N$ мы теряем все знакомства человека $D$ , а восполнить можем только на одно меньше, ибо теряем также знакомство $C$ с $D$ . Полученное противоречие показывает, что незнакомых в данной компании быть не может.