Задача 013 — Задачи на Графы

В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогой с односторонним движением. Известно, что из любого города можно доехать до любого другого, но при закрытии любой дороги это условие нарушается. Какое наибольшее число дорог может быть в этой стране? (Любые два города соединены не более чем одной дорогой.)

Подсказка

Попробуйте доказать лемму. Если в связном ориентированном графе $k$ вершин и хотя бы $2 k-1$ ребро (причем некоторые пары вершин могут быть соединены ребрами в обоих направлениях), то одно из ребер можно удалить без потери связности.

Решение

Ответ. 197.
Решение: Построим ориентированный граф, вершины которого соответствуют городам, а ребра — дорогам (направление ребра будет соответствовать направлению дороги). Любые две вершины соединены не более, чем одним ориентированным ребром. Полученный граф будет связным (из любой вершины можно попасть в любую другую), но при удалении любого ребра связность теряется.

Построим пример такого графа со 197 ребрами. Он будет состоять из вершин $A, B, \mathrm{C}_{1}, \ldots, \mathrm{C}_{98}$ , и ребер $A \rightarrow C$ , а также $C \rightarrow B_{i}$ и $B_{i} \rightarrow A$ для всех $i$ . Нетрудно проверить, что этот граф подходит.

Докажем лемму: если в связном ориентированном графе $k$ вершин и хотя бы $2 k-1$ ребро (причем некоторые пары вершин могут быть соединены ребрами в обоих направлениях), то одно из ребер можно удалить без потери связности.

Доказательство: Рассмотрим в нашем графе произвольную вершину $A$ . Нетрудно понять, что достаточно отметить в графе $k-1$ ребро, чтобы только по отмеченным вершинам можно было бы добраться из $A$ до любой другой вершины. Аналогично, можно отметить в графе еще $k-1$ ребро так, чтобы по отмеченным вершинам можно было бы добраться из любой другой вершины до $A$ . В графе должны остаться неотмеченные ребра — любое из них можно удалить без потери связности. Лемма доказана.

Перейдем к доказательству утверждения задачи. Из связности графа следует, что в нем есть (ориентированный) цикл $C_{1} \rightarrow C_{2} \rightarrow \ldots \rightarrow C_{m} \rightarrow C_{1}$ . Понятно, что $m \geq 3$ и нет никаких ребер между входящими в цикл вершинами, кроме ребер самого цикла (иначе такое ребро можно удалить без потери связности). Также отметим, что из любой не входящей в цикл вершины А существует не более одного ребра, выходящего к вершинам цикла (если таких ребер хотя бы два, то одно из них можно удалить без потери связности). Аналогично, существует не более одного ребра, выходящего из вершин цикла в А.

Заменим все вершины цикла на одну вершину $C$ и для любой другой вершины $A$ проведем ребро $A \rightarrow C$ , если существует одно из ребер $A \rightarrow C_{i}$ и ребро $C \rightarrow A$ , если существует одно из ребер $C_{i} \rightarrow \mathrm{~A}$ . Получится новый связный ориентированный графG’, в котором ровно на $m$ ребер меньше, чем в исходном графе и удаление любого ребра нарушает связность. (Однако, в этом графе возможно наличие двух ребер разного направления между двумя вершинами.) В графе G’ ровно $100-m+1$ вершина и, по доказанному выше утверждению, не более $2(100-m+1)-2=200-2 m$ ребер. Следовательно, в исходном графе было не более, чем $200-m \leq 200-3=197$ ребер.