В математический кружок пришло заниматься 20 детей. Каждый ребёнок знаком ровно с 14 другими, причём есть 10 человек, любые двое из которых знакомы. Докажите, что этот кружок можно разбить на две группы таким образом, чтобы каждые два ученика, попавших в одну группу, были знакомы между собой.
Подсказка
Зафиксируем десятерых, любые двое из которых знакомы. Назовём их синими, а остальных десятерых — зелёными.
Решение
Пусть каждые двое знакомых совершат рукопожатие. Зафиксируем десятерых, любые двое из которых знакомы. Назовём их синими, а остальных десятерых — зелёными. Каждый из синих знаком с девятью синими и, стало быть, с пятью зелёными. Значит, всего зелёные совершили с синими 50 рукопожатий. Поскольку в сумме у зелёных должно быть 
рукопожатий, 90 из них приходятся на рукопожатия зелёных между собой. Так как каждый из зелёных мог пожать руки только 9 зелёным, отсюда следует, что между зелёными были совершены все возможные рукопожатия, то есть каждый из зелёных дружит с каждым, что и завершает доказательство.