На конгресс приехало 100 ученых, каждый из которых сделал доклад. В конце каждый заявил, что ему понравилось ровно 75 докладов, сделанных его коллегами на конгрессе. Докажите, что найдутся трое, каждому из которых понравились доклады двух других.
Подсказка
Рассмотрим ученого А, доклад которого понравился наибольшему количеству его коллег (их, как минимум, 75).
Решение
Будем говорить, что ученые А и В взаимны, если им понравились доклады друг друга. Рассмотрим ученого А, доклад которого понравился наибольшему количеству его коллег (их, как минимум, 75). Рассмотрим всех, кому понравился доклад A , и всех, чьи доклады понравились А. Так как тех и других не менее, чем по 75, а всего ученых, кроме А, ровно 99, то найдется хотя бы 51 человек, взаимный с А. Возьмём группу из ровно 51 такого учёного (назовем её s). Для любого ученого из s найдется как минимум 
ученых из s, доклады которых ему понравились. Рассмотрим в s такого ученого B , доклад которого понравился наибольшему числу его коллег из s. Таких будет не менее 26. Тогда так как B понравились не менее, чем 26 докладов из s , среди учёных из s найдется C , который взаимен с B . Тогда 
и C попарно взаимны, что и требовалось доказать.