В стране 20 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами. Оказалось, что из каждого города выходит ровно 10 дорог. Страна распалась на две республики. В каждой из республик оказалось по 10 городов. Докажите, что в этих республиках поровну внутренних дорог (дорогу будем называть внутренней для республики, если она соединяет два города из этой республики).
Подсказка
Пусть первую республику со второй соединяют 
дорог. Тогда сколько дорог внутри республик?
Решение
Пусть первую республику со второй соединяют дорог. Тогда сумма количеств дорог, выходящих из городов первой республики, равна 
, и всего внутренних дорог в первой республике окажется ( ) 
, так как каждая из них учтена дважды. Аналогично показываем, что во второй республике также ( ) 2 внутренних дорог.