Задача 020 — Задачи на Графы

В классе поровну мальчиков и девочек, и все ученики разного роста. Оказалось, что если мальчик дружит с девочкой, то он дружит и со всеми девочками выше неё; и наоборот — если девочка дружит с мальчиком, то она дружит и со всеми мальчиками выше него. Учитель физкультуры хочет выстроить детей в ряд, начиная с мальчика, так, чтобы любые двое соседей в ряду были друзьями разного пола. Оказалось, что количество способов это сделать — натуральное число $N$ , делящееся на 101. Каким наименьшим количеством нулей может оканчиваться десятичная запись числа $N$ ?

Подсказка

Для начала докажите лемму.

Лемма. $N=\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{k}\right)^{2}$ , где $a_{1}, \ldots, a_{k}$ — некоторая последовательность неотрицательных целых чисел такая, что $i \geq a_{i} \geq a_{i+1}-1$ при всех $i=1,2, \ldots, k-1$ .

Решение

Ответ. 48.
Решение: Назовём исследуемые расстановки легальными. Пусть $k$ количество мальчиков. Пример получается при $k=101$ , когда все дружат. Действительно, тогда $N=(101!)^{2}$ , причём 2 входит в 101 ! хотя бы в 50 степени, а 5 — в степени $[101 / 5]+\left[101 / 5^{2}\right]=24$ , ибо $101<5^{3}$ . Значит, $N$ оканчивается ровно 48 нулями.

Сначала выведем оценку из леммы. Поскольку $N$ натурально, $a_{1} \geq 1$ , то есть $a_{1}=1$ . Если $N$ делится на 101 , то одно из чисел $a_{1}, \ldots, a_{k}$ делится на $101-$ скажем, это $a_{j}$ . Из условий $a_{i-1} \geq a_{i}-1$ следует, что среди чисел $a_{1}, \ldots, a_{j-1}$ встретятся все числа от 1 до 100 , то есть $N$ делится на ( $100!)^{2}$ и, следовательно, на $10^{48}$ .

Осталось доказать лемму. Числа $a_{k-i}$ будут определяться так. Выкинем из компании $i$ самых маленьких девочек и $i$ самых больших мальчиков. Тогда $a_{k-i}$ — это количество оставшихся мальчиков, знакомых со всеми оставшимися девочками. Из этого описания немедленно следуют условия на $a_{i}$ , указанные в лемме.

Индукция по $k$ . При $k=1$ имеем $N=1=a_{1}$ . Пусть теперь $k>1$ . Рассмотрим самую маленькую девочку $d$ ; пусть $M$ — множество мальчиков, которые с ней дружат, $|M|=a_{k}$ . Заметим, что $M$ состоит из $a_{k}$ самых высоких мальчиков.

В любой легальной расстановке перед $d$ стоит мальчик $m$ из $M$ , а после неё — либо мальчик $m^{\prime}$ из $M$ , либо никто. Так как $m^{\prime}$ , если он существует, знаком со всеми девочками, то после выбрасывания пары ( $m, d$ ) из расстановки получится легальная расстановка оставшихся детей. Наоборот, в любую легальную расстановку $2(k-1)$ детей, отличных от $m$ и $d$ , пару ( $m, d$ ) можно вставить либо перед произвольным $m^{\prime} \in M\{m\}$ , либо в конец, то есть $a_{k}$ способами.

Далее, поскольку $m$ дружит со всеми, для всех $m \in M$ после выкидывания пары ( $m, d$ ) останутся «одинаковые» компании детей (научным языком, графы их дружб изоморфны). Поэтому в них будет поровну легальных расстановок, и эти количества будут по предположению индукции иметь вид $N^{\prime}=\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{k-1}\right)^{2}$ . Итак, для каждого из $a_{k}$ мальчиков из $M$ в каждую из $N^{\prime}$ перестановок можно вставить пару ( $m, d$ ) ровно $a_{k}$ способами. Значит, $N=N^{\prime} a_{k}^{2}$ , что и требовалось.