На вечеринку собрались несколько мальчиков и несколько девочек. После вечеринки выяснилось, что для каждой пары девочек есть ровно три мальчика, которые танцевали и с той, и с другой, а для каждой пары мальчиков есть ровно три девочки, которые танцевали и с тем, и с другим. Докажите, что на вечеринке было поровну мальчиков и девочек.
Подсказка
Рассмотрите отдельно пары из двух мальчиков, знакомые с парами из двух девочек.
Решение
Скажем, что пара мальчиков и пара девочек сопряжены, если каждый мальчик из первой пары танцевал с каждой девочкой из второй. Из условия следует, что каждая пара мальчиков сопряжена ровно с тремя парами девочек, а каждая пара девочек — ровно с тремя парами мальчиков. Отсюда следует, что пар мальчиков столько же, сколько пар девочек, а именно — втрое меньше общего числа сопряжённых пар. Таким образом, если мальчиков на вечеринке было 
, а девочек — 
, то 
, откуда 
.