Задача 00018 — Задачи на Графы

К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \operatorname{tg} x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a \neq 0$ .

РешениеРешение

Абсцисса $x_{0}$ любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенству $\cos x_{0}=a \operatorname{tg} x_{0}$ . В этой точке касательная к графику функции $y=\cos x$ имеет угловой коэффициент $k_{1}=-\sin x_{0}$ , а касательная к графику функции $y=a \operatorname{tg} x$ имеет угловой коэффициент $k_{2}=\frac{a}{\cos ^{2} x_{0}}$ . Поскольку $k_{1} k_{2}=-\frac{a \operatorname{tg} x_{0}}{\cos x_{0}}=-1$ , эти касательные перпендикулярны друг другу.