Задача 00017 — Задачи на Графы

Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.

Решение

Пронумеруем корни многочлена в порядке возрастания $a_{1}<a_{2}<\ldots<a_{n}$ . Тогда многочлен можно представить в виде

$P(x)=a\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \ldots\left(x-a_{n}\right), \quad a \neq 0, \quad a, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{Z} .$

Покажем, что значение многочлена $P$ в любой точке локального экстремума по модулю больше 3 (тогда при сдвиге графика многочлена на 3 единицы вверх или вниз количество его точек пересечения с осью абсцисс не изменится). Точки локальных экстремумов многочлена $P$ находятся на промежутках $\left(a_{i} ; a_{i+1}\right), i=1,2, \ldots, n-1$ .

Вычислим значения $|P(x)|$ в точках $x_{i}=a_{i}+\frac{1}{2}$ . Так как корней не меньше шести, то

$\left|P\left(x_{i}\right)\right|=\left|a\left(x_{i}-a_{1}\right)\left(x_{i}-a_{2}\right) \ldots\left(x_{i}-a_{n}\right)\right| \geqslant|a| \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{25}{4}=|a| \cdot \frac{225}{64}=|a| \cdot 3 \frac{33}{64}>3 .$

В произведении мы оставляем шесть наименьших по модулю множителей, остальные (есть при $n>6$ ) ещё больше.